Bachelor thesis – Tobias Reinhart
Tobias Reinhart
Lorentztransformationen in endlichen Raumzeiten
[PDF]
finished 2016-10
supervised by Alexander Laska, Klaus Mecke
Abstract
In dieser Arbeit werden Lorentz-Transformationen in endlichen Raumzeiten (vierdimensionalen projektiven Räumen über Primkörpern, metrisiert durch ein Biquadrikfeld) untersucht. Es wird zunächst die Lorentz-Gruppe definiert und als vierdimensionale, nicht-projektive orthogonale Gruppe identifiziert. Anschließend wird deren Struktur untersucht, indem zunächst die Kompositionsreihe der vierdimensionalen orthogonalen Gruppe bestimmt wird. Die so gefunden Faktoren werden schließlich wieder zur orthogonalen Gruppe zusammengefügt. Dadurch ist es möglich sechs Matrizen mit je einem freien Parameter zu konstruieren, bezüglich derer sich jede Lorentz-Transformation auf eindeutige Weise als Produkt darstellen lässt. Weiterhin wird aus der Zerlegung auch die Ordnung der Lorentz-Gruppe und als direkte Folge die Anzahl der verschiedenen Biquadriken der Raumzeit bestimmt. Zuletzt kann aus der Lorentz-Gruppe auch die endliche Poincaré-Gruppe konstruiert werden.
In dieser Arbeit werden Lorentz-Transformationen in endlichen Raumzeiten (vierdimensionalen projektiven Räumen über Primkörpern, metrisiert durch ein Biquadrikfeld) untersucht. Es wird zunächst die Lorentz-Gruppe definiert und als vierdimensionale, nicht-projektive orthogonale Gruppe identifiziert. Anschließend wird deren Struktur untersucht, indem zunächst die Kompositionsreihe der vierdimensionalen orthogonalen Gruppe bestimmt wird. Die so gefunden Faktoren werden schließlich wieder zur orthogonalen Gruppe zusammengefügt. Dadurch ist es möglich sechs Matrizen mit je einem freien Parameter zu konstruieren, bezüglich derer sich jede Lorentz-Transformation auf eindeutige Weise als Produkt darstellen lässt. Weiterhin wird aus der Zerlegung auch die Ordnung der Lorentz-Gruppe und als direkte Folge die Anzahl der verschiedenen Biquadriken der Raumzeit bestimmt. Zuletzt kann aus der Lorentz-Gruppe auch die endliche Poincaré-Gruppe konstruiert werden.