Bachelor thesis – Sönke Harms
Sönke Harms
Lokale Entropieproduktion, Fluktuationstheoreme und Zeitumkehrsymmetrie im Phasenraum [PDF]
finished 2024-07
supervised by Michael Schmiedeberg
Abstract
Die Quantifizierung der Brechung von Zeitumkehrsymmetrie durch die relative Entropie
oder Kullback-Leibler-Divergenz ist seit Längerem von großem Interesse in der
Nichtgleichgewichtsphysik. Ro et al. versuchten in einer Arbeit, diese globale Größe
der Entropieproduktion, die laut ihnen als einzelne Zahl nur wenig Information
über die geometrische Natur dieser Zeitsymmetriebrechungen gibt, mit dem Konzept
einer lokalen Entropieproduktion zu verknüpfen. Gleichzeitig haben sie einen Algorithmus
vorgestellt, der mithilfe der sogenannten Cross-Parsing Complexity das Berechnen
der Kullback-Leibler-Divergenz und damit der Entropieproduktion erleichtert.
Ziel dieser Arbeit ist es, diese lokale Größe auf thermodynamische Systeme anzuwenden
und zu überprüfen, ob sie einem Fluktuationstheorem gehorcht. Dafür wird die
Entropieproduktion im Rahmen von nichtquasistatischen thermodynamischen Prozessen
untersucht. Zuerst wird ein theoretischer Überblick über das Gebiet der Fluktuationstheoreme
gegeben, um die Hintergründe der Entropieproduktion zu verstehen.
Dem folgt ein aktuelle Beschreibung des Gebietes der lokalen Entropieproduktion
und ihrer Berechnung. Anschließend wird die Entropieproduktion im Phasenraum definiert
und zu einer coarse-grained Entropie diskretisiert. Hier wird mithilfe der Kettenregel
der Kullback-Leibler Divergenz die Entropieproduktion in einen dynamischen
und einen lokalen Teil zerlegt und argumentiert, dass die lokale Entropieproduktion
nach Ro et al. eher eine Entropieproduktion entlang einer lokalen Trajektorie darstellt
als eine gemittelte Größe. Als Nebenprodukt der Zerlegung der Entropieproduktion
werden drei neue Größen formuliert, nämlich die dynamische Entropieproduktion, die
Phasenraum-Entropieproduktion und die globale Entropieproduktion. Im letzten Teil
der Arbeit werden die betrachteten Größen für verschiedene thermodynamische Systeme
konkret untersucht. Hier wird anhand geeigneter Simulationen gezeigt, dass die
von Ro et al. definierte Größe durch detaillierte Fluktuationstheoreme beschrieben werden
kann. Zusätzlich stellt sich heraus, dass die mittlere globale Entropieproduktion,
für lokale Entropieproduktion misst, ob sie sich in einem Gleichgewichtszustand befinden.
Abschließend kann gezeigt werden, dass die dynamische Entropieproduktion und
die Phasenraumentropieproduktion Zeitumkehrsymmetriebrechung in ihren jeweiligen
Räumen qualitativ beschreiben können, wobei die globale Entropieproduktion hier an
Bedeutung verliert.
Die Quantifizierung der Brechung von Zeitumkehrsymmetrie durch die relative Entropie
oder Kullback-Leibler-Divergenz ist seit Längerem von großem Interesse in der
Nichtgleichgewichtsphysik. Ro et al. versuchten in einer Arbeit, diese globale Größe
der Entropieproduktion, die laut ihnen als einzelne Zahl nur wenig Information
über die geometrische Natur dieser Zeitsymmetriebrechungen gibt, mit dem Konzept
einer lokalen Entropieproduktion zu verknüpfen. Gleichzeitig haben sie einen Algorithmus
vorgestellt, der mithilfe der sogenannten Cross-Parsing Complexity das Berechnen
der Kullback-Leibler-Divergenz und damit der Entropieproduktion erleichtert.
Ziel dieser Arbeit ist es, diese lokale Größe auf thermodynamische Systeme anzuwenden
und zu überprüfen, ob sie einem Fluktuationstheorem gehorcht. Dafür wird die
Entropieproduktion im Rahmen von nichtquasistatischen thermodynamischen Prozessen
untersucht. Zuerst wird ein theoretischer Überblick über das Gebiet der Fluktuationstheoreme
gegeben, um die Hintergründe der Entropieproduktion zu verstehen.
Dem folgt ein aktuelle Beschreibung des Gebietes der lokalen Entropieproduktion
und ihrer Berechnung. Anschließend wird die Entropieproduktion im Phasenraum definiert
und zu einer coarse-grained Entropie diskretisiert. Hier wird mithilfe der Kettenregel
der Kullback-Leibler Divergenz die Entropieproduktion in einen dynamischen
und einen lokalen Teil zerlegt und argumentiert, dass die lokale Entropieproduktion
nach Ro et al. eher eine Entropieproduktion entlang einer lokalen Trajektorie darstellt
als eine gemittelte Größe. Als Nebenprodukt der Zerlegung der Entropieproduktion
werden drei neue Größen formuliert, nämlich die dynamische Entropieproduktion, die
Phasenraum-Entropieproduktion und die globale Entropieproduktion. Im letzten Teil
der Arbeit werden die betrachteten Größen für verschiedene thermodynamische Systeme
konkret untersucht. Hier wird anhand geeigneter Simulationen gezeigt, dass die
von Ro et al. definierte Größe durch detaillierte Fluktuationstheoreme beschrieben werden
kann. Zusätzlich stellt sich heraus, dass die mittlere globale Entropieproduktion,
für lokale Entropieproduktion misst, ob sie sich in einem Gleichgewichtszustand befinden.
Abschließend kann gezeigt werden, dass die dynamische Entropieproduktion und
die Phasenraumentropieproduktion Zeitumkehrsymmetriebrechung in ihren jeweiligen
Räumen qualitativ beschreiben können, wobei die globale Entropieproduktion hier an
Bedeutung verliert.